Fatoração de Polinômios

Principio Multiplicativo

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Questão de concurso

concurso

Atividade extra....

Um tigre, dois tigres, três tigres...

Procurando na internet, o Zeca descobriu que:

• O maior tigre encontrado até hoje foi um tigre-da-sibéria com 2,60 metros de comprimento e 320 quilos de peso.
• Um único tigre pode puxar um búfalo-indiano que pesa cerca de 900 quilos. Para locomover um peso tão grande, seriam necessários cerca de 14 homens fortes.

Fonte: www.saudeanimal.com.br/tigre.htm - acesso em 24.05.2008

Leia atentamente as informações que o Zeca obteve sobre os tigres para responder às seguintes questões:

a) Quantos quilos poderiam ser puxados por dois tigres, de uma só vez? E por quatro?

b) Quantos homens fortes seriam necessários para locomover três búfalos-indianos?

c) Quantos homens fortes seriam necessários para locomover 5.400 quilos?

Gincana de Matematica

Lista de exercícios: Fatoração Polinômios

Aplicação da Matemática no nosso dia a dia

Logaritmos: Química => desintegração substância radioativa.
                      Geografia => taxas de crescimento.

Funções: Física, Engenharia Civil, Biologia, Contabilidade entre outras.

Geometria Espacial: Filmes em 3D, construção de automóveis, computadores, aviões e etc.

Porcentagem: mercado financeiro, estatística e etc.

Razões e proporções: análise de dados, pesquisas, projeções e estimativas...

Números positivos e negativos: temperatura, conta bancária, fuso horário, nível de altitude e etc.

Trigonometria: Engenharia, música, medicina, mecânica, eletricidade, astronomia, acústica e etc.

Matrizes: no cinema. O pixels das fotos e das imagens de televisão.

Equações: localização de pessoas, barcos, aviões entre outros. Também usado para calcular o movimento quando é feito o saque de uma bola de vôlei.

Em breve trarei mais aplicações da Matemática no nosso dia a dia.           

Curiosidade sobre Potenciação

Uma das lendas do jogo de xadrez.

Conta-se que um rei que gostava demais do jogo de xadrez resolveu compensar o inventor deste jogo.

Assim, o rei chamou o inventor e perguntou a ele: "Peça o que quiser e eu te darei como recompensa pela tua invenção".

A que o inventor respondeu:

"Dá-me pela primeira casa do tabuleiro um grão, pela segunda dois, pela terceira três, e assim continuando até a 64ª casa".

 O rei, achando que o pedido era fácil de ser atendido, concordou imediatamente e mandou que a quantia em grãos fosse paga.

 Acabou entretanto descobrindo que todos os celeiros reais não seriam suficientes para pagar a quantia pedida pelo inventor, pois:

1ª casa do tabuleiro - 1 grão

2ª casa do tabuleiro - 2 grãos

3ª casa do tabuleiro - 2 x 2 = 4 grãos

4ª casa do tabuleiro - 2 x 2 x 2 = 8 grãos

e assim sucessivamente até

2 elevado a 64 = 18.446.744.073.709.551.615 grãos!       

Fatoração de polinômios

Exercícios resolvidos

Logaritmo

ENEM

(ENEM2011) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas abaixo.

dia do mês       temperatura(emºC)
       1                              15,5
       3                              14 
       5                              13,5 
       7                              18 
       9                              19,5
      11                             20
      13                             15,5
      15                             13,5 
      17                             18
      19                             20
      21                             18,5
      23                             13,5
      25                             21,5
      27                             20
      29                             16

Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a:
a) 17ºC, 17ºC e 13,5ºC
b) 17ºC, 18ºC e 13,5ºC
c) 17ºC, 13,5ºC e 18ºC
d) 17ºC, 18ºC e 21,5ºC
e) 17ºC, 13,5ºC e 21,5ºC

Resolução:

Média: verificamos com qual frequência a temperatura se repete.

4 . 13,5 + 3 . 20 + 2 . 18 + 1 . 14 + 1 . 15,5 + 1 . 16 + 1 . 18,5 + 1 . 19,5 + 1 . 21,5  =
                            4 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

255 = 17ºC
 15

Mediana: é o valor central.

13,5 - 14 - 15,5 - 16 - 18 - 18,5 - 19,5 - 20 - 21,5


Moda: é o valor que mais se repete.

a temperatura 13,5ºC se repete em 4 dias.

Alguns símbolos Matematicos

Ano Bissexto

     Um ano corresponde ao período de tempo que a Terra demora para dar uma volta completa e torno do Sol. Esse movimento é chamado de translação.

     O período de um ano corresponde a 365 dias, 5 horas, 48 minutos e 46 segundos, isto é, cerca de 365 dias e 6 horas.

     A cada quatro anos, para compensar as 6 horas que excedem os 365 dias, o que corresponde a 24 horas, é acrescentado um dia extra ao ano (4 . 6 horas = 24 horas = 1 dia), totalizando assim 366 dias. A esse ano chamamos ano bissexto, e o dia extra acrescentado é 29 de fevereiro.

     No entanto, para compensar a diferença entre as 6 horas e as 5 horas, 48 minutos e 46 segundos, foi estabelecido que os anos cujos números que os indicam terminam em 00 só são bissextos se forem divisíveis por 400.

exemplo:

- se o número que indica o ano é terminado em 00, esse ano será bissexto se o número for divisível por 400.

- se o número que indica o ano não é terminado em 00, esse ano será bissexto se o número for divisível por 4.

     O ano 2000, por exemplo, foi bissexto porque 2000 termina em 00 e é divisível por 400. Já o ano 2020, que não termina em 00, será bissexto porque 2020 é divisível por 4.

Regras de Divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando este número for par, ou seja, quando o último algarismo for 0, 2, 4, 6 ou 8.

exemplo: 24, 18, 1456, ...

Divisibilidade por 3 e 9

Um número natural é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número múltiplo de 3.

exemplo: 231 = 2 + 3 + 1 = 6 é múltiplo de 3.
                102 = 1 + 0 + 2 = 3 é múltiplo de 3.
                542 = 5 + 4 + 2 = 11 não é múltiplo de 3.

Um número natural é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número múltiplo de 9.

exemplo: 846 = 8 + 4 + 6 = 18 é múltiplo de 9.
                564 = 5 + 6 + 4 = 15 não é múltiplo de 9.

Divisibilidade por 4

Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número que é múltiplo de 4.

exemplo: 716 = 16 é múltiplo de 4.
                421 = 21 não é múltiplo de 4.

Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando o último algarismo é 0 ou 5.

exemplo: 310 = é divisível por ser terminado em 0.
                415 = é divisível por ser terminado em 5.
                618 = não é divisível por não ser terminado em 0 ou 5.

Divisibilidade por 6

Um número natural é divisível por 6 quando ele é divisível por 2 e por 3.

exemplo: 504 = é divisível por 2 e por 3, então é divisível por 6.
                321 = não é divisível por 2, mas é divisível por 3, então não é divisível por 6.

Divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando o último algarismo é 0.

exemplo: 3 270 = é divisível por 10 porque é terminado em 0.
                   485 = não é divisível por 10 porque não é terminado em 0.

Você sabia???

Mega-Sena

A chance de uma pessoa acertar na Sena é de "1" em "50 063 860", aproximadamente 0,000002%.

Curiosidades.....

1. Se multiplicarmos o número 37 pelos múltiplos de 3 obteremos:

3 x 37 = 111
6 x 37 = 222
9 x 37 = 333
12 x 37 = 444
15 x 37 = 555
18 x 37 = 666 e assim sucessivamente.

2. Podemos calcular potências através da soma de números ímpares.

5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

3² = 1 + 3 + 5 = 9

4² = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

Lucro ou Prejuízo

1. Por quanto devo vender um estojo que comprei por R$ 18,00 para obter um lucro de 12%?

Resolução:
R$ 18,00 equivale a 100%
X equivale a 12%
então, fazemos uma regra de três:    18 = 100%   e multiplicamos cruzado; 
                                                           x       12%

100 . x = 18 . 12                                      R$ 18,00  (preço que pagou)                              
100 . x = 216                                           R$   2,16  (lucro de 12%)
x = 216                                                    R$ 20,16 (preço de venda)
      100
x = 2,16    =======>

O estojo deve ser vendido por R$ 20,16.

2. Um corretor recebeu R$ 7 800,00 de comissão pela venda de um apartamento. O apartamento foi vendido por R$ 130 000,00. Calcule a taxa de porcentagem da comissão.

Resolução:
(valor do apartamento) x (% da comissão) = (valor da comissão)

130 000,00 . X = 7 800,00
X =      7 800     
        130 000  
X = 0,06 ===>       multiplica este valor por 100 e vamos obter 6%.

A comissão do corretor será de 6%.


3. Qual foi o percentual de prejuízo numa venda de R$ 435,00 e o preço de custo foi R$ 580,00?

Resolução:
- vamos achar o valor do prejuízo em reais: R$ 580,00 - R$ 435,00 = R$ 145,00
- montamos uma regra de três:           x%      =     145  
                                                         100%           580
580 . x = 100 . 145
580 . x = 14 500
x = 14 500
         580
x = 25%

O percentual de prejuízo será de 25%.
                                          

Análise Combinatória

                                         Análise combinatória
     

     Análise combinatória é o campo de estudo que desenvolve métodos para fazer a contagem, de forma eficiente, do números de elementos de um conjunto. Seu estudo encontra aplicação nas mais diversas situações, como na Química, ao se investigar a possível união entre átomos, ou no esporte, na montagem das tabelas de campeonatos.

Situações que recaem em problemas de contagem

1. Três alunos chegam atrasados a uma palestra. No auditório, só estão vazias 7 cadeiras. De quantas maneiras eles podem ocupar essas cadeiras?

Resolução:
- o primeiro aluno tem 7 possibilidades para sentar;
- o segundo aluno tem 6 possibilidades para sentar;
- e o terceiro aluno tem 5 possibilidades para sentar.

Pelo princípio multiplicativo: 7 x 6 x 5 = 210

Eles podem ocupar de 210 maneiras diferentes.


2. Ao entrar num cinema, 6 amigos encontram uma fila de 6 poltronas livres. De quantas maneiras diferentes os amigos podem ocupar essas poltronas?

Resolução:
- o primeiro amigo tem 6 possibilidades para ocupar uma das cadeiras;
- o segundo amigo tem 5 possibilidades para ocupar uma outra cadeira;
- o terceiro amigo tem 4 possibilidades;
- o quarto amigo tem 3 possibilidades;
- o quinto amigo tem 2 possibilidades e
- o sexto amigo tem 1 possibilidade apenas.

Pelo princípio multiplicativo: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Assim, as poltronas podem ser ocupadas de 720 maneiras diferentes.

3. Com 3 tipos de macarrão e 2 tipos de molho, quantas opções de pratos diferentes de macarronada podem ser preparadas?

Resolução:
macarrão A             molho A               Pelo princípio multiplicativo: 3 x 2 = 6
macarrão B             molho B        
macarrão C

Podem ser preparadas 6 opções de macarronada.

Redução da Expressão Algébrica

Redução da Expressão Algébrica

Frações

1. Um auxiliar de enfermagem deve trabalhar 30 horas semanais. Devido a um acúmulo de serviço na semana passada, ele precisou fazer 12 horas extras. A fração que corresponde a quanto ele trabalhou a mais do que o previsto é:
a) 1/4
b) 1/5
c) 2/5
d) 2/3
e) 1/3

Resolução:
12 = 6   = 2 - alternativa c
30    15    5

2. De um total de 180 candidatos, 2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3 estuda espanhol e o restante estuda alemão. O número de candidatos que estuda alemão é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10

Resolução:
inglês: 2 de 180 = 180 : 5 . 2 = 72
            5
francês: 2 de 180 = 180 : 9 . 2 = 40
              9
espanhol: 1 de 180 = 180 : 3 . 1 = 60
                3
72 + 40 + 60 = 172   ==> 180 - 172 = 8 candidatos - alternativa c